Андрій народився 16 серпня 1975 року в Херсоні. З дитинства багато читав, займався боротьбою, відвідував гурток веслування на каное та клуб юних моряків. Після строкової служби працював охоронцем.
У 2015 році пішов на фронт, де зазнав поранення. Після реабілітації працював інструктором для добровольців, а згодом знову вирушив на Схід України. Служив помічником гранатометника у 54-й окремій механізованій бригаді. Воював у складі взводу добровольців під командуванням Дмитра Коцюбайла «Да Вінчі», брав участь у боях під Авдіївкою. Поблизу шахти Бутівка отримав контузію.
У день загибелі Андрій подзвонив матері й повідомив, що поранений: «Пробач, не міг сказати тобі правду. Ти не хвилюйся, вже так сталося. Я хотів до вас повернутись, я дуже вас люблю, але тут хлопці по 20 років, я не міг їх кинути».
«Він так і не вимкнув телефон, і я чула, як він відстрілюється, ці п’ять останніх пострілів пам’ятаю досі», – розповіла мама захисника Маргарита.
Тіла Андрія та його побратимів забрали бойовики так званої «днр». Згодом їх передали представникам Міністерства оборони України у місті Щастя за участі місії ОБСЄ.
Андрія Байбуза поховали у Херсоні.
Посмертно його нагородили орденом «За мужність» III ступеня, відзнаками ДУК ПС «Бойовий Хрест Корпусу» та «Лицарський хрест Родини Мазеп».
У нього залишилися батьки та сестра.
27 листопада 2017 року на фасаді будинку, де жив Андрій, відкрили меморіальну дошку.
