Максим народився 27 червня 1998 року в селі Мала Олександрівка на Херсонщині. Змалку був творчим, захоплювався музикою. Закінчив музичну школу по класу акордеона, брав участь у численних мистецьких заходах. У 2018 році завершив навчання в Херсонському училищі культури за спеціальністю «Видовищно-театралізовані заходи». Працював режисером театралізованих масових заходів у Великоолександрівському районному будинку культури. Створював музику, писав пісні, у тому числі англійською мовою, записував їх. Разом із братами та друзями знімав креативні відео і музичні кліпи, вів канал на YouTube.
У серпні 2019 року Максим пішов на строкову військову службу. Відразу ж підписав контракт. Брав участь в ООС.
Початок повномасштабного вторгнення зустрів у лавах Збройних Сил України. Служив старшим оператором зенітної ракетної обслуги 6-ї зенітної ракетної батареї 2-го зенітного ракетного дивізіону 38-го зенітного ракетного полку імені генерал-хорунжого Юрія Тютюнника.
«Максим був нашим первістком, уособленням повноти щастя у родинному гніздечку, і сам він дуже дорожив сімейними цінностями. Подорослішавши, дякував за щасливе дитинство. Мріяв про власну родину і дуже хотів мати дітей. А ще рано почав замислюватися над філософськими питаннями, шукав сенс буття, і незадовго до загибелі написав подрузі, що, здається, все зрозумів і після повернення поділиться своїм відкриттям...», – написала мати Марина.
«Максим був сміливим, мужнім і неймовірно талановитим митцем. Цей хлопець залишив по собі найсвітліший слід у серцях усіх, хто його знав. Сам він себе асоціював з Маленьким Принцом, бо бачив те, що є невловимим для ока середньостатистичної людини. Він бачив у кожному своє світло, був добродушним і дбайливим», – додала подруга Олександра.
Посмертно Максима Богуна відзначили орденом «За мужність» ІІІ ступеня.
Через окупацію рідного села воїна спершу поховали у селі Гвардійське Одеської області. 23 листопада 2025 року перепоховали у Малій Олександрівці.
У нього залишилися батьки, троє братів і сестра.
